Ronaldo Del Carpio Mendoza
Profesor del Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad Católica San Pablo
Una de las preguntas clásicas en la filosofía de la matemática es: ¿qué es lo que le da fundamento a esta disciplina? Una respuesta influyente afirma que la base de la matemática reside en la construcción mental del ser humano. Desde esta visión, se evita aceptar entidades abstractas independientes de nuestro pensamiento. En ese marco, surge el debate en torno a una de las ideas más poderosas y controvertidas: el infinito.
Mientras que la tradición clásica lo entiende como una totalidad ya dada —por ejemplo, el conjunto completo de números naturales N = {0, 1, 2,…}—, el intuicionismo propone otra mirada. Para esta escuela, el infinito no es una entidad preexistente, sino un proceso dinámico que se construye paso a paso. El infinito no está “ahí” esperando ser descubierto, sino que se despliega en la actividad del matemático.
La visión clásica trata al infinito como cualquier otro objeto matemático y se apoya en principios como la ley del tercero excluido, que afirma que toda proposición es verdadera o falsa, aunque no sepamos cuál. Aplicada a entidades infinitas, esta ley resulta problemática para el intuicionismo, porque la existencia del infinito no puede comprobarse de forma constructiva. Cantor, con su teoría de conjuntos, mostró cómo era posible definir cardinales y operar con conjuntos infinitos, pero desde el intuicionismo se objeta que todo ello descansa en aceptar “totalidades” que nunca podemos construir efectivamente.
Así, en la perspectiva intuicionista, los números naturales no forman una colección cerrada y acabada, sino una secuencia interminable en la que cada número surge del anterior. Incluso conceptos aparentemente sencillos, como “todos los números pares”, adquieren aquí otro matiz: no tienen un significado absoluto fuera del proceso que los genera.
De este modo, la matemática deja de verse como el descubrimiento de verdades eternas y pasa a entenderse como creación humana. El matemático no es un explorador que descubre paisajes ya trazados, sino un artesano que construye estructuras paso a paso, generando la realidad matemática en su hacer.
Ahora bien, este enfoque tiene consecuencias prácticas. El intuicionismo, al ser más restrictivo, no refleja del todo cómo trabajan los matemáticos en la práctica. Las nociones clásicas de infinito, aunque cuestionadas filosóficamente, resultan útiles y productivas. Por eso se siguen utilizando en la investigación, la enseñanza y la aplicación de las matemáticas. Por ejemplo, en la docencia es habitual recurrir a la noción clásica de límite para explicar a los estudiantes el comportamiento de funciones.
En definitiva, el intuicionismo nos recuerda que el infinito no es un concepto trivial: según cómo lo entendamos, cambia nuestra concepción de la matemática misma. Y aunque la práctica diaria siga recurriendo al infinito clásico, la mirada intuicionista abre un debate profundo sobre el carácter humano y creativo del conocimiento matemático.